SymPy в Python - подробный гайд по библиотеке

Старт:21.10.2024

Срок обучения:9 мес.

Python-разработчик

Практический онлайн-курс, на котором вы с нуля изучите самый универсальный и востребованный язык программирования — Python. Создадите свое портфолио разработчика, которое выгодно покажет вас на рынке труда, и сможете зарабатывать в IT через полгода.

136 000 ₽340 000 ₽

11 333₽/мес рассрочка

Подробнее

Для решения математических задач в Python, особенно при работе с символьной математикой, рекомендую использовать библиотеку SymPy. Она предоставляет инструменты для работы с выражениями, уравнениями, и различными математическими объектами.

SymPy позволяет строить графики функций, вычислять пределы, производные и интегралы, решать дифференциальные уравнения и заниматься многими другими задачами. Она отлично подходит как для учебных целей, так и для практического применения в научных исследованиях и инженерных расчётах.

В этом руководстве мы рассмотрим ключевые возможности SymPy. Вы научитесь создавать и манипулировать математическими выражениями, решать уравнения (как линейные, так и нелинейные), вычислять различные математические функции и строить графики.

Примеры? Мы разберем, как использовать SymPy для решения систем линейных уравнений, вычисления определённых интегралов, работы с тригонометрическими функциями. Ключевой момент: мы покажем, например, как аналитически найти производную функции и построить её график.

Установка и базовые операции

Для работы с SymPy, установите его через pip:

pip install sympy

После установки, импортируйте библиотеку в ваш скрипт:

import sympy

Базовые операции с символами:

SymPy позволяет работать с символами как с переменными. Например, определите символ:

x = sympy.Symbol('x')

Теперь вы можете использовать x в выражениях:

expr = x**2 + 2*x + 1
print(expr) 

Результат: x² + 2x + 1

Вычисление выражений:

result = sympy.simplify(expr)
print(result)

Результат: (x + 1)2

sol = sympy.solve(x2 - 4, x)
print(sol)

Результат: [2, -2]

Производная функции:

derivative = sympy.diff(x3, x)
print(derivative)

integral = sympy.integrate(x2, x)
print(integral)

Результат: x³/3

Эти примеры демонстрируют необходимые для начала работы функции. Изучите документацию SymPy для более продвинутых операций.

Работа с алгебраическими выражениями

Для работы с алгебраическими выражениями в SymPy используйте класс sympy.Symbol для определения переменных.

Пример:

from sympy import Symbol, simplify, expand

x = Symbol('x')

expression = x**2 + 2*x + 1

simplified_expression = simplify(expression)

expanded_expression = expand(expression)

print(simplified_expression) #Результат: (x + 1)2

print(expanded_expression) #Результат: x2 + 2*x + 1

Функция simplify упрощает выражение, а expand раскладывает его.

Более сложные примеры:

from sympy import Symbol, solve

x = Symbol('x')

equation = x2 - 4

expression = sin(x)2 + cos(x)2

fraction = (x2 + 2*x + 1) / (x + 1)

simplified_fraction = factor(fraction)

print(simplified_fraction) #Результат: x + 1

Функция factor позволяет разложить выражение на множители.

Решение уравнений и неравенств

Для решения уравнений и неравенств в SymPy, используйте функцию solve. Она принимает уравнение или систему уравнений в качестве аргумента.

Пример 1 (линейное уравнение):

from sympy import solve, Symbol x = Symbol('x') solution = solve(2*x - 5, x) print(solution) # Выведет [2.5]

Пример 2 (квадратное уравнение):

from sympy import solve, Symbol x = Symbol('x') solution = solve(x2 - 4, x) print(solution) # Выведет [-2, 2]

from sympy import solve, Symbol, Interval x = Symbol('x') solution = solve(x2 - 1 > 0, x) print(solution) # Выведет (-oo, -1) U (1, oo) # Для наглядности можно получить интервал print(Interval.Ropen(-oo, -1).union(Interval.Ropen(1, oo)) )

Важно учесть, что solve может возвращать множество решений, поэтому необходимо тщательно анализировать результат.

Для более сложных уравнений или систем, могут потребоваться дополнительные функции из SymPy, такие как nsolve для приближённых решений или работа с комплексными числами.

Работа с функциями и графики

Для построения графиков функций в SymPy используйте функцию plot из модуля plotting. Она принимает функцию и диапазон для построения, например:

from sympy import plot, sin, symbols x = symbols('x') plot(sin(x), (x, -10, 10))

Это создаст график синусоиды в диапазоне от -10 до 10. Можете менять функцию и диапазон. Для построения нескольких графиков на одном рисунке, передайте несколько функций в качестве аргументов:

plot(sin(x), cos(x), (x, -10, 10))

Указывайте аргумент title для добавления заголовка:

plot(sin(x), (x, -10, 10), title="График функции sin(x)")

Для установки диапазонов по осям используйте xlabel и ylabel:

plot(x2, (x, -5, 5), xlabel="Значение x", ylabel="Значение y")

from sympy import diff, Symbol
x = Symbol('x')
y = x3 + 2*x**2
dy_dx = diff(y, x)
print(dy_dx) # Результат: 3*x**2 + 4*x

from sympy import integrate, Symbol
x = Symbol('x')
f_x = 2*x
integral = integrate(f_x, x)
print(integral) # Результат: x2 + C

from sympy import integrate, Symbol
x = Symbol('x')
f_x = x2
integral = integrate(f_x, (x, 0, 2))
print(integral) # Результат: 8/3