Логические элементы и таблицы истинности

Абсолютно все цифровые микросхемы состоят из одних и тех же логических элементов – «кирпичиков» любого цифрового узла. Вот о них мы и поговорим сейчас.

Логический элемент – это такая схемка, у которой несколько входов и один выход. Каждому состоянию сигналов на входах, соответствует определенный сигнал на выходе.

Итак, какие бывают элементы?

Элемент «И» (AND)

Иначе его называют «конъюнктор».

Для того, чтобы понять как он работает, нужно нарисовать таблицу, в которой будут перечислены состояния на выходе при любой комбинации входных сигналов. Такая таблица называется «таблица истинности». Таблицы истинности широко применяются в цифровой технике для описания работы логических схем.

Вот так выглядит элемент «И» и его таблица истинности:

Поскольку вам придется общаться как с русской, так и с буржуйской тех. документацией, я буду приводить условные графические обозначения (УГО) элементов и по нашим и по не нашим стандартам.

Смотрим таблицу истинности, и проясняем в мозгу принцип. Понять его не сложно: единица на выходе элемента «И» возникает только тогда, когда на оба входа поданы единицы. Это объясняет название элемента: единицы должны быть И на одном, И на другом входе.

Если посмотреть чуток иначе, то можно сказать так: на выходе элемента «И» будет ноль в том случае, если хотя бы на один из его входов подан ноль. Запоминаем. Идем дальше.

Элемент «ИЛИ» (OR)

По другому, его зовут «дизъюнктор».

Любуемся:

Опять же, название говорит само за себя.

На выходе возникает единица, когда на один ИЛИ на другой ИЛИ на оба сразу входа подана единица. Этот элемент можно назвать также элементом «И» для негативной логики: ноль на его выходе бывает только в том случае, если и на один и на второй вход поданы нули.

Едем дальше. Дальше у нас очень простенький, но очень необходимый элемент.

Элемент «НЕ» (NOT)

Чаще, его называют «инвертор».

Надо чего-нибудь говорить по поводу его работы?

Ну тогда поехали дальше. Следующие два элемента получаются путем установки инвертора на выход элементов «И» и «ИЛИ».

Элемент «И-НЕ» (NAND)

Элемент И-НЕ работает точно так же как «И», только выходной сигнал полностью противоположен. Там где у элемента «И» на выходе должен быть «0», у элемента «И-НЕ» – единица. И наоборот. Э то легко понять по эквивалентной схеме элемента:

Элемент «ИЛИ-НЕ» (NOR)

Та же история – элемент «ИЛИ» с инвертором на выходе.

Следующий товарищ устроен несколько хитрее:
Элемент «Исключающее ИЛИ» (XOR)

Он вот такой:

Операция, которую он выполняет, часто называют «сложение по модулю 2». На самом деле, на этих элементах строятся цифровые сумматоры.

Смотрим таблицу истинности. Когда на выходе единицы? Правильно: когда на входах разные сигналы. На одном – 1, на другом – 0. Вот такой он хитрый.

Эквивалентная схема примерно такая:

Ее запоминать не обязательно.

Собственно, это и есть основные логические элементы. На их основе строятся абсолютно любые цифровые микросхемы. Даже ваш любимый Пентиум 4.

Далее мы позанудствуем о том, как синтезировать цифровую схему, имея ее таблицу истинности. Это совсем несложно, а знать надо, ибо пригодится (еще как пригодится) нам в дальнейшем.

Ну и напоследок – несколько микросхем, внутри которых содержатся цифровые элементы. Около выводов элементов обозначены номера соответствующих ног микросхемы. Все микросхемы, перечисленные здесь, имеют 14 ног. Питание подается на ножки 7 (-) и 14 (+). Напряжение питания – смотри в таблице в предыдущем параграфе.

Таблицы истинности, с формулами и примерами

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Они могут принимать значения «истина» или «ложь» (1 или 0). Для функции, содержащей две переменные, наборов значений переменных всего четыре:

Значения логических функций определяются с помощью таблица истинности.

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

1. Конъюнкция (логическое умножение) – сложное логическое выражение, которое является истинным только в том случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения.

Обозначение:

2. Дизъюнкция (логическое сложение) – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно, если оба простых логических выражения ложны.

Обозначение:

3. Импликация (логическое следствие) – это сложное логическое выражение, которое является ложным тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно.

Обозначение:

4. Эквиваленция – это сложное логическое высказывание, которое является истинным только при одинаковых значениях истинности простых выражений, входящих в него.

Обозначение:

5. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.

Обозначение:

6. Штрих Шеффера – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение ложно тогда и только тогда, когда оба простых выражения истинны.

Обозначение:

7. Стрелка Пирса – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение истинно тогда и только тогда, когда оба простых выражения ложны.

Обозначение:

Порядок выполнения логических операций

При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций:

Инверсия

Конъюнкция

Дизъюнкция

Импликация

Эквиваленция

Штрих Шеффера

Стрелка Пирса

Для последних двух операций приоритет не определен.

Замечание. Если необходимо изменить указанный порядок выполнения логических операций используются скобки.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Логические основы работы компьютера

Знания из области математической логики можно использовать для конструирования электронных устройств. Нам известно, что 0 и 1 в логике не просто цифры, а обозначение состояний какого-то предмета нашего мира, условно называемых “ложь” и “истина”. Таким предметом, имеющим два фиксированных состояния, может быть электрический ток.

Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если “отсутствует” электрический сигнал, и 1, если “имеется” электрический сигнал.

Базовые логические элементы реализуют три основные логические операции: «И», «ИЛИ», «НЕ».

Логический элемент «НЕ» (инвертор)

Простейшим логическим элементом является инвертор, выполняющий функцию отрицания. Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот.

У этого элемента один вход и один выход. На функциональных схемах он обозначается:

Говорят также, что элемент «НЕ» инвертирует значение входной двоичной переменной.

Проверь соответствие логического элемента “НЕ” логическому элементу “НЕ”. Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Логический элемент «И» (конъюнктор)

Логический элемент «И» (конъюнктор) выдает на выходе значение логического произведения входных сигналов.

Он имеет один выход и не менее двух входов. На функциональных схемах он обозначается:

Сигнал на выходе конъюнктора появляется тогда и только тогда, когда поданы сигналы на все входы.

На элементарном уровне конъюнкцию можно представить себе в виде последовательно соединенных выключателей.

Известным примером последовательного соединения проводников является елочная гирлянда: она горит, когда все лампочки исправны. Если же хотя бы одна из лампочек перегорела, то гирлянда не работает.

Проверь соответствие логического элемента “И” логическому элементу “И”. Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор)

Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор) выдает на выходе значение логической суммы входных сигналов. Он имеет один выход и не менее двух входов. На функциональных схемах он обозначается:

Сигнал на выходе дизъюнктора не появляется тогда и только тогда, когда на все входы не поданы сигналы.

На элементарном уровне дизъюнкцию можно представить себе в виде параллельно соединенных выключателей.

Примером параллельного соединения проводников является многорожковая люстра: она не работает только в том случае, если перегорели все лампочки сразу.

Проверь соответствие логического элемента “ИЛИ” логическому элементу “ИЛИ”. Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Пример 1.
Составьте логическую схему для логического выражения: F=A / B / A.

1. Две переменные – А и В.

2. Две логические операции: 1-/, 2-/.

3. Строим схему:

Пример 2.
Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F=А/В/ ¬(В/А). Вычислить значения выражения для А=1,В=0.

1. Переменных две: А и В; 1 4 3 2

2. Логических операций три: / и две /; А/В/ ¬ (В/ А).

3. Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций:

4. Вычислим значение выражения: F=1 / 0 / ¬(0 / 1)=0

Логические основы ЭВМ

Аннотация: Рассматриваются основные логические элементы и принципы их соединения в логические схемы.

Любая цифровая вычислительная машина состоит из логических схем – таких схем, которые могут находиться только в одном из двух возможных состояний – либо “логический ноль”, либо “логическая единица”.

За логический 0 и логическую 1 можно принять любое выражение, в том числе и словесное, которое можно характеризовать как “истина” и “ложь”. В вычислительной технике логические 0 и 1 – это состояние электрических схем с определенными параметрами.

Так, для логических элементов и схем, выполненных по технологии транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ-схемы), логический 0 – это напряжение в диапазоне 0 … + 0,4 В, а логическая 1 – это напряжение в диапазоне + 2,4 … + 5 В [1].

Работа логических схем описывается посредством специального математического аппарата, который называется логической (булевой) алгеброй или алгеброй логики. Булева алгебра была разработана Джорджем Булем (1815 – 1864 гг.), она является основой всех методов упрощения булевых выражений.

Логические переменные и логические функции – это такие переменные и функции, которые могут принимать только два значения – либо логический 0, либо логическая 1.

Логический элемент – графическое представление элементарной логической функции.

Рассмотрим ключевую схему представленную на рис. 1.1,а. Примем за логический 0 [2]:

на входе схемы разомкнутое состояние соответствующего ключа, например,;
на выходе схемы () – такое ее состояние, когда через сопротивление R ток не протекает.

Таблица истинности – это таблица, содержащая все возможные комбинации входных логических переменных и соответствующие им значения логической функции.

Рис. 1.1. Трёх-входовой логический элемент И

Таблица истинности для логической схемы, представленной на рис. 1.1,б, состоит из 8 строк, поскольку данная схема имеет три входа -,и. Каждая из этих логических переменных может находиться либо в состоянии логического 0, либо логической 1. Соответственно количество сочетаний этих переменных равно.

Очевидно, что через сопротивление R ток протекает только тогда, когда замкнуты все три ключа – и, и, и. Отсюда еще одно название логического умножения – логический элемент И. В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.

1,в.

Правило логического умножения :если на вход логического элемента И подается хотя бы один логический 0, то на его выходе будет логический 0.

Уровень логического 0 является решающим для логического умножения .

В логических выражениях применяется несколько вариантов обозначения логического умножения. Так, для приведенного на рис. 1.1,в трёх-входового элемента И, логическое выражение можно представить в виде:

либо, но при этом из контекста должно быть ясно, что данное умножение именно логическое;
либо;
либо- с использованием знака конъюнкции;
либо, но при этом из контекста должно быть ясно, что между переменными,ипроизводится логическое умножение.

Рассмотрим ключевую схему, представленную на рис. 1.2,а. Таблица истинности для данной логической схемы (рис. 1.2,б) состоит из 4 строк, поскольку данная схема имеет два входа -и. Количество сочетаний этих переменных равно.

Очевидно, что через сопротивление R ток протекает тогда, когда замкнуты или, или. Отсюда еще одно название логического сложения – логическое ИЛИ.

В логических схемах соответствующий логический элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.2,в.

Рис. 1.2. Логический элемент ИЛИ на два входа

Правило логического сложения: если на вход логического элемента ИЛИ подается хотя бы одна логическая, то на его выходе будет логическая 1.

Для логического сложения решающим является уровень логической 1.

В логических выражениях применяется два варианта обозначения логического сложения. Так, для приведенного двух-входового элемента ИЛИ, логическое выражение можно представить в виде:

либо, но при этом из контекста должно быть ясно, что данное сложение именно логическое;
либо- с использованием знака дизъюнкции.

Рассмотрим ключевую схему, представленную на рис. 1.3,а. Таблица истинности для данной схемы (рис. 1.3,б) самая простая и состоит всего из 2 строк, поскольку она (единственная из всех логических элементов) имеет только один вход -.

Количество вариантов для единственной логической переменной равно. Очевидно, что через сопротивление R ток протекает () тогда, когдане замкнут, т.е..

Еще одно название этой логической функции – отрицание, а соответствующий логический элемент называется инвертором. В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис.

1.3,в. Поскольку он имеет только один вход, в его обозначении допустимым является и знак логического сложения, и знак логического умножения.

Рис. 1.3. Логический элемент НЕ

Правило инверсии: проходя через инвертор, сигнал меняет свое значение на противоположное.

В логических выражениях применяется единственный вариант обозначения инверсии:

К основным логическим элементам относятся еще два элемента, которые являются комбинацией элементов И, ИЛИ и НЕ: элемент И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

Данная функция производит логическое умножение значений входных сигналов, а затем инвертирует результат этого умножения. В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.4,а. Таблица истинности приведена на рис. 1.4,б.

Рис. 1.4. Логический элемент И-НЕ на три входа

Если на вход логического элемента И-НЕ подается хотя бы один логический 0, то на его выходе будет логическая 1.

В логических выражениях применяются обозначения:

либо, но при этом из контекста должно быть ясно, что данное умножение именно логическое;
либо;
либо;
либо.

В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рис. 1.5,а. Таблица истинности приведена на рис. 1.5,б.

Если на вход логического элемента ИЛИ-НЕ подается хотя бы одна логическая 1, то на его выходе будет логический 0.В логических выражениях применяются обозначения:

либо, но при этом из контекста должно быть ясно, что данное сложение именно логическое;
либо.

Рис. 1.5. Логический элемент ИЛИ-НЕ на два входа

Логические элементы ЭВМ

Логический элемент компьютера – это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логический элемент – простейшая структурная единица ЭВМ – выполняющая определенную логическую операцию над двоичными переменными согласно правилам алгебры логики.

Реализуется обычно на электронных приборах (полупроводниковых диодах, транзисторах) и резисторах, либо в виде интегральной микросхемы; имеет несколько входов для приема сигналов, соответствующих исходным переменным, и выход для выдачи сигнала, соответствующего результату операций. Для логических элементов приняты дискретные значения входных и выходных сигналов («0» и «1»).

Базовые логические элементы ЭВМ реализуют три основные логические операции:

конъюнктор – логический элемент «И» логическое умножение;

дизъюнктор – логический элемент «ИЛИ» логическое сложение;

инвертор – логический элемент «НЕ» инверсию.

Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из «кирпичиков».

Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл сигнала 1, нет импульса – . На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.

Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояния, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции.

Конъюнктор

Конъюнкция – соответствует союзу «И», обозначается знаком Ù, иначе называется логическим умножением. Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда обе переменные истинны.

Таблица истинности
функции логического умножения:

Конъюнктор (логический элемент «И») – реализует операцию конъюнкции.

На входы А и В логического элемента «И» подаются два сигнала (00, 01, 10, 11). На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности операции логического умножения.

Дизъюнктор

Дизъюнкция – соответствует союзу «ИЛИ», обозначается знаком Ú, иначе называется логическим сложением. Дизъюнкция двух логических переменных истинна тогда, когда истинна хотя бы одна переменная.

Таблица истинности
функции логического сложения:

Дизъюнктор (логический элемент «ИЛИ») – реализует операцию дизъюнкции.

На входы А и В логического элемента «ИЛИ» подаются два сигнала (00, 01, 10 или 11). На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности операции логического сложения.

Инвертор – логический элемент «НЕ»

Присоединение частицы «НЕ» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное выражение ложным и, наоборот, ложное – истинным.

Операцию логического отрицания (инверсию) над логическим высказыванием A в алгебре логики принято обозначать ØA.

Таблица истинности
функции логического отрицания:

Инвертор – реализует операцию отрицания, или инверсию.

На вход А логического элемента подается сигнал 0 или 1. На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности инверсии.

Другие логические элементы построены из этих трех простейших и выполняют более сложные логические преобразования информации. Сигнал, выработанный одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента, это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов.

Дата добавления: 2016-05-31; просмотров: 2889;

Цифровая электроника. Законы алгебры логики. Базовые логические элементы. Таблицы истинности

В Булевой алгебре, на которой базируется вся цифровая техника, электронные элементы должны выполнять ряд определённых действий. Это так называемый логический базис. Вот три основных действия:

ИЛИ – логическое сложение (дизъюнкция) – OR;

И – логическое умножение (конъюнкция) – AND;

НЕ – логическое отрицание (инверсия) – NOT.

Примем за основу позитивную логику, где высокий уровень будет “1”, а низкий уровень примем за “0”. Чтобы можно было более наглядно рассмотреть выполнение логических операций, существуют таблицы истинности для каждой логической функции. Сразу нетрудно понять, что выполнение логических функций «и» и «или» подразумевают количество входных сигналов не менее двух, но их может быть и больше.

Логический элемент И.

На рисунке представлена таблица истинности элемента “И” с двумя входами. Хорошо видно, что логическая единица появляется на выходе элемента только при наличии единицы на первом входеина втором. В трёх остальных случаях на выходе будут нули.

На принципиальных схемах логический элемент “И” обозначают так.

На зарубежных схемах обозначение элемента “И” имеет другое начертание. Его кратко называют AND.

Логический элемент ИЛИ.

Элемент “ИЛИ” с двумя входами работает несколько по-другому. Достаточно логической единицы на первом входе илина втором как на выходе будет логическая единица. Две единицы так же дадут единицу на выходе.

На схемах элемент “ИЛИ” изображают так.

На зарубежных схемах его изображают чуть по-другому и называют элементом OR.

Логический элемент НЕ.

Элемент, выполняющий функцию инверсии «НЕ» имеет один вход и один выход. Он меняет уровень сигнала на противоположный. Низкий потенциал на входе даёт высокий потенциал на выходе и наоборот.

Вот таким образом его показывают на схемах.

В зарубежной документации элемент “НЕ” изображают следующим образом. Сокращённо называют его NOT.

Все эти элементы в интегральных микросхемах могут объединяться в различных сочетаниях. Это элементы: И–НЕ, ИЛИ–НЕ, и более сложные конфигурации. Пришло время поговорить и о них.

Основные законы алгебры логики являются двойственными: относительно логического сложения и относительно логического умножения. Ими являются:

1. Переместительный (коммутативный) закон:

– относительно сложения

– относительно умножения

2. Сочетательный (ассоциативный) закон:

– относительно сложения

– относительно умножения

3. Распределительный (дистрибутивный) закон:

– относительно сложения

– относительно умножения

4. Закон инверсии (де Моргана):

– относительно сложения

– относительно умножения

5. Закон повторения (идемпотентности):

На основании алгебры логики очевидны следующие соотношения (аксиомы алгебры логики):

Последние соотношения (относительно a) легко доказываются подстановкой вместо a его возможных значений – 0 и 1.

Рассмотренные законы применимы не только к отдельным переменным, но и к группам переменных, объединенных операциями алгебры логики.

В алгебре логики установлен порядок выполнения действий. При отсутствии в выражении скобок первыми должны выполняться операции отрицания (инверсии), затем операции конъюнкции и последними – операции дизъюнкции. При наличии в выражении скобок в первую очередь производятся операции внутри скобок.

При преобразовании логических функций зачастую приходится производить операцию инверсирования их.

Таблица истинности — это таблица, в которой отражены все значения логической функции при всех возможных значениях, входящих в неё логически
Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» (true либо false, 1 либо 0).

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Эквиваленция

a
b
a∧b
a
b
a∨b
a
b
a→b
a
b
a↔b

Алгоритм составления таблиц истинности.

1) Подсчитать количество логических переменных n

2) Подсчитать количество строк m=2^n

3) Количество столбцов = n+ количество логических операция

Цифровая электроника

В цифровой электронике используются не непрерывный ток, а импульсы, т.е. для тока возможны только два состояния – сильный ток или слабый. Цифровые схемы используются в электронных устройствах – калькуляторах, часах.

Импульсы тока в цифровой схеме могут служить для двоичной записи информации. Двоичный код – это способ записи информации при помощи нулей и единиц. Двоичным кодом можно записывать слова, звуки, изображения. В электронных часах используются цифровые электронные схемы.

В цифровых электронных устройствах сильный ток означает единицу, а слабый – нуль.

Электронные устройства меняют направление тока в цифровых схемах. А состоящие из них логические элементы способны производить вычисления. В карманном калькуляторе есть сложные цифровые схемы. Они могут запоминать числа и производить вычисления. Нажимая на кнопки, мы посылаем в схему электронные сигналы.

Базовые логические элементы

5. Базовые логические элементы

5.1. Основные логические операции. В цифровых устройствах широко применяются элементы, которые выполняют определенные логические операции. Такие элементы называются логическими (ЛЭ).

Для описания логических операций используется математический аппарат, получивший название алгебры логики или булевой алгебры (в честь ее разработчика — ирландского математика Джорджа Буля).

Алгебра логики изучает взаимосвязь между простыми высказываниями, образующими сложные высказывания. С точки зрения алгебры логики простое высказывание может иметь только два значения — истинное или ложное. Одно из этих значений принимается за 1, второе — за 0.

Следовательно, простое высказывание является двоичной переменной.

Основными логическими операциями являются:

Операция логического отрицания НЕ (инверсия) преобразует истинное высказывание в ложное или наоборот. Символически операция логического отрицания обозначается в виде черточки над аргументом:. Такое выражение читается: « равен НЕ».

Операция логического отрицания имеет два исхода в зависимости от значения аргумента: а) если х=0, то у=1 и б) если х=1, то у=0.

Операция логического сложения ИЛИ (дизъюнкция) используется для образования сложного высказывания из простых. При этом сложное высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из простых высказываний, и ложным, если ложны все простые высказывания. Символически операция ИЛИ обозначается выражениями:

или

Читается: «у равен х1 или х2 или х3…»

Результаты логической операции ИЛИ для всех возможных комбинаций двух аргументов приведены в табл. 5.1.

Операция логического умножения И (конъюнкция) тоже используется для образования сложного высказывания из простых, но при этом сложное высказывание считается истинным тогда и только тогда, когда истинны все простые высказывания.

Символически операция И обозначается выражениями:

или

Читается: «у равен х1 и х2 и х3…»

Результаты логической операции И для двух аргументов также приведены в табл. 5.1.

Операция отрицания логического сложения ИЛИ — НЕ, называемая также «стрелкой Пирса», образует сложное высказывание из простых в соответствии со следующим правилом (табл. 5.1): сложное высказывание истинно лишь в том случае, когда ложны все образующие его простые высказывания, и ложно, если истинно хотя бы одно из простых высказываний.

Символически операция ИЛИ — НЕ обозначается выражениями:

или или

Операция отрицания логического умножения И — НЕ, известная также под названием «штрих Шеффера», образует сложное высказывание из простых согласно правилу: сложное высказывание истинно, если ложно хотя бы одно из простых высказываний, и ложно, если все простые высказывания истинны (см. табл. 5.1).

Символически операция И — НЕ обозначается выражениями:

или или

Операция ЗАПРЕТ представляет сложное высказывание, которое истинно только тогда, когда первое из двух высказываний истинно, а второе — ложно. Символически операция ЗАПРЕТ обозначается выражениями:

или

Результаты логической операции ЗАПРЕТ приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1 Результаты логических операций ИЛИ, И, ИЛИ-НЕ, И-НЕ и ЗАПРЕТ

X1
X2
Y

ИЛИ
И
ИЛИ-НЕ
И-НЕ
ЗАПРЕТ

1
1

1
1
1
1

5.2. Основные логические элементы.

Общие сведения. Логические элементы работают с двоичным кодированием информации, которое характеризуется двумя уровнями напряжения двоичной переменной, обозначаемыми цифрами 1 (высокий) и 0 (низкий уровень). В зависимости от уровня напряжения, при котором воспринимается или вырабатывается информация, различают прямые и инверсные входы и выходы ЛЭ.

Прямым считается такой вход (или выход), на котором двоичная переменная имеет значение 1, когда уровень напряжения на этом входе (выходе) соответствует состоянию, принятому за 1.

Если двоичная переменная на входе (выходе) имеет значение 1 при уровне напряжения на нем, соответствующем состоянию, принятому за 0, то такой вход (выход) называется инверсным.

Логические элементы обычно выполняются на ИМС, в которых используется положительная (позитивная) логика, когда логической единице соответствует высокий потенциальный уровень, а логическому нулю — низкий потенциальный уровень.

Если логической единице соответствует низкий потенциальный уровень, а логическому нулю — высокий, такую логику называют отрицательной, или негативной.

Очевидно, что входы и выходы, являющиеся прямыми в положительной логике, будут инверсными в отрицательной логике, и наоборот.

На принципиальных схемах ЛЭ изображаются в виде прямоугольника (таблица .5.2). В верхней части прямоугольника указывается символ функции: 1 — для логических функций НЕ и ИЛИ и & — для логической функции И.

Входы и выходы изображаются линиями, проведенными перпендикулярно к боковым сторонам прямоугольника (входы — с левой стороны, выходы — с правой). Если вход или выход является инверсным, то в месте пересечения изображающей его линии со стороной прямоугольника ставится кружок. В таблице 5.2.

приведены буквенные и графические обозначения основных логических элементов, их таблицы истинности и примеры технической реализации.

Таблица 5.2 Простейшие логические элементы.

Типопераций
Обозначение элемента
Таблица истинности
Пример технической реализации

буквенное
графическое

НЕ
ЛН

ИЛИ
ЛЛ

X1
X2
Y

1
1

1
1
1

И
И

X1
X2
Y

1
1
1

ИЛИ-НЕ
ЛЕ

X1
X2
Y

1
1

И-НЕ
ЛА

X1
X2
Y

1
1

Логические операции и выражения

Доброго дня уважаемые друзья!
Приветствую Вас на сайте «Мир микроконтроллеров»

Логика
Логические операции и выражения
Таблица истинности
Логический элемент

Логика это не просто древнегреческое слово, а целая наука, изучение которой позволяет нам правильно и здраво рассуждать, и, соответственно, делать правильные выводы из наших рассуждений, чего, однако, очень не хватает в нашем современном мире (поэтому и говорят «нелогичный человек», «нелогичный поступок»).
Рассуждая о чем-либо, мы, на основе логических заключений, делаем соответствующие выводы. К примеру, думая о своем товарище, на основе каких-то фактах, характеризующих его, мы можем сделать вывод – друг он нам, или нет (или: «и не друг, и не враг, – а так»).

В конце 19 века, группа лиц, под названием «математики», решила перевести весь наш мыслительный процесс в более понятную для них форму – математическую. И из простой, человеческой логики, появилась математическая, или – символическая логика. В чем суть этого метода.

Любая высказанная нами мысль основывается на каких то фактах – кирпичиках, составляющих ее основу. Так вот, в математической логике эти «кирпичики» имеют только два состояния – «ложь» или «истина».
1+1 равно 2 – истинна, 1+1 не равно 2 – ложь. Все просто и понятно.

А из таких «кирпичиков», а у математиков они называются – «простые выражения», которые могут быть только или «истинной», или «ложью», складываются «сложные выражения», которые тоже могут быть только или «истинными», или «ложными».

А весь этот процесс получения сложного выражения из простых можно описать «логической формулой» или, как еще говорят, – «логическим выражением».

Все современные цифровые технологии основываются на логических операциях, без них никуда не деться.

Все цифровые микросхемы в своей работе используют логические схемы (выполняют логические операции, в том числе и микроконтроллер).

Создавая программу, мы прописываем все действия микроконтроллера основываясь на своей логике с применением логических операций, иногда даже и не подозревая об этом, которые применяем к логическим выражениям.

Пример – «если в ходе выполнения программы получен такой результат, то дальше программа пойдет вот таким путем, а если мы получили другой результат, то программа дальше пойдет вот этим путем» – типичное выполнение логической операции.

В программировании логическая операция применяется не только к логическому выражению, но и для операций с двоичными числами, так называемые «логические побитовые (битовые) операции», которые очень сильно облегчают тяжелую жизнь программиста.

Кр вуз фпт

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Начало исследованиям в области формальной логики было положено работами Аристотеля в IV в. до нашей эры. Однако математические подходы к этим вопросам впервые были указаны Дж. Булем. В честь него алгебру высказывания называют булевой алгеброй, а логические значения — булевыми.

Основу математической логики составляет алгебра высказываний. Это освобождает матлогику от неопределенности в толковании логических выражений, показывающих связь между отдельными суждениями и понятиями.

Алгебра логики используется при построении основных узлов ЭВМ (дешифратор, сумматор, шифратор).

Алгебра логики оперирует с высказываниями. Под высказыванием понимают повествовательное предложение, относительно которого можно утверждать, истинно оно или ложно. Например, выражение «Расстояние от Москвы до Киева больше, чем от Москвы до Тулы» истинно, а выражение «5 < 2» — ложно.

Высказывания принято обозначать буквами латинского алфавита: А, В, С, …, X, У и т. д. Если высказывание С истинно, то пишут С= 1 (C=t, true), а если оно ложно, то С= О (С=f, false).

Логическиеоперацииибазовыеэлементыкомпьютера

Наиболее часто используются логические операции, выражаемые словами «НЕ», «И», «ИЛИ».

Логический элемент — это часть электронной схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и другие (называемые обычно вентилями), а также триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера.

Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

На структурных схемах ЭВМ каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Логические операции.

Рассмотрим логические операции и соответствующие им элементы логических схем.

Конъюнкция.

Соединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза И называется операцией логического умножения, или конъюнкцией.

Эту операцию принято обозначать знаками «^, &» или знаком умножения «х».

Сложное высказывание Х & Y истинно только в том случае, когда истинны оба входящих в него высказывания.

Истинность такого высказывания задается табл.2.1

Табл. 2.1 Таблица истинности конъюнкции

X & Y

0 (ложно)

1 (истинно)

Логическая схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.

Условное обозначение на структурных диаграммах схемы И с двумя входами представлено на рис. 2.1, а.

а) б)

Рис. 2.1 Условное обозначение схемы: а) И; б) ИЛИ

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет нуль, на выходе также будет нуль.

Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается соотношением: z = x & у (читается как «х И у»). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком «&».

Дизъюнкция.

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза ИЛИ называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией.

Эту операцию обозначают, знаками «|, v» или знаком сложения «+».

Сложное высказывание A v В истинно, если истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний (табл. 2.2).

Табл. 2.2 Таблица истинности дизъюнкции

X v Y

0 (ложно)

1 (истинно)

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на ее выходе также будет единица.

Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя входами представлено на рис. 2.1, б. Знак «1» на схеме — от классического обозначения дизъюнкции как «≥1» (т. е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1).

Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается соотношением: z = x v у (читается как «х ИЛИ у»).

Инверсия.

Присоединение частицы НЕ к некоторому высказыванию называется операцией отрицания (инверсии) и обозначается А (или -А).

Если высказывание А истинно, то В ложно, и наоборот (табл. 2.3).

Табл. 2.3 Таблица истинности инверсии.

0 (ложно)

1 (истинно)

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом х этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = х, где х читается как «НЕ х» или «ИНВЕРСИЯ х».

Если на входе схемы «О», то на выходе «1», и наоборот.

Условное обозначение на структурных схемах инвертора — на рис. 2.2, в.

в) г)

Рис. 2.2

Вентили.

Кроме схемных элементов, соответствующих перечисленным логическим операторам, в состав логических схем входят комбинированные связки, именуемые вентилями, например следующие.

СхемаИ—НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И (табл. 2.4).

Табл. 2.4 Таблица истинности схемы И-НЕ.

X& Y

1 (истинно)

0 (ложно)

Связь между выходом Z и входами х и у схемы записывают как х & у, или «ИНВЕРСИЯ х И у». Условное обозначение на структурных схемах схемы И—НЕ с двумя входами представлено на рис. 2.2, г.

СхемаИЛИ—НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ (табл. 1.19).

Табл. 2.5 Таблица истинности схемы ИЛИ-НЕ.

Xv Y

1 (истинно)

0 (ложно)

Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают как х v у, или «ИНВЕРСИЯ х ИЛИ у». Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ—НЕ с двумя входами представлено на рис. 2.3.

Рис. 2.3

2.2 Классификация элементов и их сравнительная характеристика

Цифровое устройство — это устройство, предназначенное для приема, обработки и выдачи цифровой информации.

Любое цифровое устройство с произвольными мерой сложности и назначением выполняется на дискретных элементах, которые включают в себя интегральные схемы разной степени интеграции.

Независимо от функционального назначения элементов их схемотехнологические реализации владеют рядом общих параметров и характеристик, которые определяют их работу в статическом и динамическом режимах.

Элементы цифрового устройства — наименьшие функциональные части, на которые разбивается устройство при его логическом проектировании и технической реализации.

Поскольку принято считать, что наименьшие функциональные части цифрового устройства выполняют простейшие логические или вспомогательные функции, можно сказать, что элементы цифрового устройства это электронные схемы, которые представляют собой некоторую совокупность определенным образом соединенных компонентов и выполняют одну или несколько простейших логических или вспомогательных операций. Компонентами элементов цифровых устройств являются интегральные схемы разной степени интеграции, транзисторы и диоды разного типа, резисторы, конденсаторы и индукторы.

Элементы цифровых устройств принято разрабатывать и выпускать в виде систем или серий, которые включают в себя их разные модификации (см.приложение А)

Физически полная система элементов — система, которая содержит специальные элементы, обеопечивающие возможность построения цепей управления, устройств памяти и цепей связи.

Последние обеспечивают работу электромеханических узлов цифровых устройств типа реле, переключателей, механизмов перфорации, печати и т. п.

, а также схем связи разных узлов цифрового устройства с устройствами ввода/вывода; элементы индикации информационных состояний узлов цифрового устройства и генераторы тактовых сигналов.

Технически полная система элементов — система, которая удовлетворяет требованиям функциональной и физической полноты.

Функционально полная система элементов — система, которая позволяет реализовать любые сложные функции переключения путем суперпозиции простейших функций, которые выполняются элементами данной серии.

Элементом цифровой схемотехники называют устройство, которое выполняет одну из задач реализации булевых функций: запоминание информации, преобразование, формирование и усиление сигналов. Все виды элементов цифровых устройств можно разделить на три группы: логические, функциональные и вспомогательные (рис. 2.1) .

Логическим элементом называется устройство, которое реализует только одну булеву функцию. Такие элементы называют однофункциональными в отличие от функциональных элементов, которые реализуют несколько булевых функций.

В функциональном элементе могут использоваться несколько логических элементов. Запоминающие элементы используют в устройствах, которые сохраняют данные и программы в виде цифровых кодов.

К вспомогательным элементам относят усилительно-формирующие элементы преобразующие нестандартные сигналы в разных цепях цифровых устройств до уровней логических элементов, которые их обрабатывают.

Кроме того, они иногда используются для увеличения нагрузочной способности логических элементов и т. д.

Специальные элементы включают в свой состав генераторы сигналов, преобразователи уровней, элементы гальванической развязки и др.

Рис. 2.1 Классификация элементов цифровых устройств

По параметрам элементы можно классифицировать в зависимости от реализации логических функций, нагрузочной способности, быстродействия или времени задержки, предельной рабочей частоты, помехоустойчивости и потребляемой мощности. В зависимости от времени задержки сигнала интегральные микросхемы делятся на устройства высокого и сверхвысокого быстродействия.

По типам базовых элементов электронных ключей разделяют несколько типов схем, где наиболее распространенными являются следующие:

транзисторно-транзисторная логика (ТТЛ);
эмиттерно-связанная логика (ЭСЛ);
инжекционная интегральная логика (И2Л);
структуры металл-оксид-полупроводник p-типа (р-МОП);
структуры металл-оксид-полупроводник n-типа (п-МОП);
комплементарные МОП-структуры (КМОП);
динамические МОП-структуры.

Более старые виды схемотехники, такие как резистивно-транзисторная логика (РТЛ) и диодно-транзисторная логика (ДТЛ), в микропроцессорных системах практически не применяются.

Логические схемы, которые изготовляются на разной конструктивно-технологической основе, значительно различаются по своим характеристикам, даже если они реализуют одинаковые функции. У любого из указанных видов схемотехники имеются свои преимущества.

Так, ЭСЛ отличается высоким быстродействием, хотя некоторые разновидности ТТЛ приближаются к ней по этому параметру.

Как р-МОП-, так и n-МОП-логика широко применяются в микропроцессорах, а КМОП-схемотехника пользуется преимуществом, если важно уменьшить потребляемую мощность.

Динамические МОП-структуры используются для построения различных запоминающих устройств; они имеют простую организацию, в которой логическое состояние определяется зарядом емкости, внутренне присущей логическому элементу. И2Л применяется в интегральных схемах.

2.3 Общие характеристики элементов логических устройств

1. Статические параметры определяют условия формирования и значения напряжений высокого и низкого уровней на выходе ЛЭ, его нагрузочную возможность, потребляемую мощность при заданных напряжении питания, нагрузке и температуре окружающей среды.

К статическим параметрам ЛЭ относятся:

• выходные и входные напряжения логических “О” и “1” (U0вых, U1вых, U0вх, U1вх );

• входные и выходные пороговые напряжения логических “О” и “1”

(U0вых. пор, U1вых. пор, U0вх. пор, U1вх. пор );

входные и выходные токи логических “О” и ” 1″ (I0вх, I1вх, I0вых, I1вых);
токи потребления в состоянии логических “О” и ” 1″ (I1пот, I0пот );
потребляемая мощность (Рпот) •

2. Динамические параметры. Быстродействие ЛЭ при переключении определяется электрической схемой, технологией изготовления и характером нагрузки. Для идентификации измерений динамических параметров в технической документации на ИС приводятся параметры эквивалентной нагрузки, устанавливаются требования к амплитуде и продолжительности фронта входного сигнала.

На рис. 2.2 показана временная диаграмма, которая объясняет изменение характеристик выходного импульса в зависимости от параметров входного импульса и свойств элемента.

Документ

I., канд. мед. наук – VII. Словник уклали: Лісовий А.С., Голубович Л.Л., Лісовий К.А., Томіна Ю.О., Чопівська К.Г. Судова медицина: [Підручник для студентів мед.

Документ

В.Ф. Погорілко – чл. кор. АПрНУкраїни, д.ю.н., проф., завідувач відділу конституційного права та місцевого самоврядування Інституту держави і права ім.

Книга

Эта книга (настоящее издание является исправленным и дополненным) на протяжении более чем четверти века успешно помогает учащимся старших классов и абитуриентам систематизировать и углублять свои знания по русскому языку.

Книга

Документ

Навчальний посібник містить виклад найбільш важливих проблем навчального курсу “Зв’язки з громадськістю”. У ньому розглядаються теорія комунікації, історія виникнення та розвитку паблік рилейшнз, характеризуються зв’язки з громадськістю