Нечеткие множества

Нечеткие множества

Аннотация: В лекции представлены методы моделирования экономических задач с использованием нечетких множеств в среде Mathcad. Введены основные понятия теории нечетких множеств.

На примерах показаны операции над множествами, расчет свойств. Рассмотрены оригинальные задачи, в которых применен нечетко-множественный подход в процессе принятия решения.

Техника моделирования реализована с помощью матриц программы Mathcad.

Цель лекции. Познакомить с нечеткими множествами. Научить ставить задачу для построения нечетко-множественной модели. Показать, как строить нечеткие множества и производить действия над ними в Mathcad. Представить методы решения нечетко-множественной модели в процессе решения задач.

При моделировании широкого класса реальных объектов возникают необходимость принимать решения в условиях неполной нечеткой информации.

Обратите внимание

Современным перспективным направлением моделирования различного вида неопределенностей является теория нечетких множеств.

В рамках теории нечетких множеств разработаны методы формализации и моделирования рассуждений человека, таких понятий как “более или менее высокий уровень инфляции”, “устойчивое положение на рынке”, “более ценный” и т.д.

Впервые понятие нечетких множеств предложил американский ученый Л.А.Заде (1965 г ). Его идеи послужили развитию нечеткой логики .

В отличие от стандартной логики с двумя бинарными состояниями (1/0, Да/Нет, Истина/Ложь), нечеткая логика позволяет определять промежуточные значения между стандартными оценками.

Примерами таких оценок являются: “скорее да, чем нет”, “наверное да”, “немного вправо”, “резко влево” в отличие от стандартных: “вправо” или “влево”, “да”.

В теории нечетких множеств введены нечеткие числа как нечеткие подмножества специализированного вида, соответствующих высказываниям типа “значение переменной примерно равно а”.

В качестве примера рассмотрим треугольное нечеткое число, где выделяются три точки: минимально возможное, наиболее ожидаемое и максимально возможное значение фактора. Треугольные числа – это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем, чаще всего их используют в качестве прогнозных значений параметра. Например, ожидаемое значение инфляции на следующий год. Пусть наиболее вероятное значение – 10%, минимально возможное – 5%, а максимально возможное – 20%, тогда все эти значения могут быть сведены к виду нечеткого подмножества или нечеткого числа A: А: (5, 10, 20)

С введением нечетких чисел оказалось возможным прогнозировать будущие значения параметров, которые меняются в установленном расчетном диапазоне.

Важно

Вводится набор операций над нечеткими числами, которые сводятся к алгебраическим операциям с обычными числами при задании определенного интервала достоверности (уровня принадлежности).

Применение нечетких чисел позволяет задавать расчетный коридор значений прогнозируемых параметров. Тогда ожидаемый эффект оценивается экспертом также как нечеткое число со своим расчетным разбросом (степенью нечеткости).

Нечеткая логика, как модель человеческих мыслительных процессов, встроена в системы искусственного интеллекта и в автоматизированные средства поддержки принятия решений (в частности, в системы управления технологическими процессами).

Множество — неопределяемое понятие математики. Георг Кантор (1845 – 1918) – немецкий математик, чьи работы лежат в основе современной теории множеств, дает такое понятие: “…множество — это многое, мыслимое как единое”.

Множество, включающее в себя все объекты, рассматриваемые в задаче, называют универсальным множеством. Универсальное множество принято обозначать буквой. Универсальное множество является максимальным множеством в том смысле, что все объекты являются его элементами, т.е. утверждениев рамках задачи всегда истинно.

Минимальным множеством является пустое множество –, которое не содержит ни одного элемента. Все остальные множества в рассматриваемой задаче являются подмножествами множества. Напомним, что множествоназывают подмножеством множества, если все элементыявляются также элементами.

Задание множества— это правило, позволяющее относительно любого элементауниверсального множестваоднозначно установить, принадлежитмножествуили не принадлежит. Другими словами, это правило, позволяющее определить, какое из двух высказываний,или, является истинным, а какое ложным.

Одним из способов задания множеств является задание с помощью характеристической функции.

Совет

Характеристической функцией множестваназывают функцию, заданную на универсальном множествеи принимающую значение единица на тех элементах множества, которые принадлежат, и значение нуль на тех элементах, которые не принадлежат:

( 6.1)

В качестве примера рассмотрим универсальное множествои два его подмножества:— множество чисел, меньших 7, и— множество чисел, немного меньших 7. Характеристическая функция множестваимеет вид

( 6.2)

Множествов данном примере является обычным множеством.

Записать характеристическую функцию множества, используя лишь 0 и 1, невозможно.

Например, включать ли вчисла 1 и 2? “намного” или “ненамного” число 3 меньше 7? Ответы на эти и подобные им вопросы могут быть получены в зависимости от условий задачи, в которой используются множестваи, а также от субъективного взгляда того, кто решает эту задачу. Множествоназывается нечетким множеством.

При составлении характеристической функции нечеткого множестварешающий задачу (эксперт) может высказать свое мнение относительно того, в какой степени каждое из чисел множествапринадлежит множеству. В качестве степени принадлежности можно выбрать любое число с отрезка.

При этомозначает полную уверенность эксперта в том, что— столь же полную уверенность, чтоговорит о том, что эксперт затрудняется в ответе на вопрос, принадлежит лимножествуили не принадлежит. Если, то эксперт склонен отнестик множеству, если же, то не склонен.

Функцией принадлежности нечеткого множестваназывают функцию, которая

• устанавливает значения степени принадлежности нечеткому множествукаждого из элементов универсального множестваи принимает значения на отрезке.
• позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству.

Такую функцию называют функцией принадлежности нечеткому множеству. – Максимальное значение функции принадлежности, присутствующее в множестве – верхняя грань – называется супремум. Функция принадлежности отражает субъективный взгляд специалиста на задачу, вносит индивидуальность в ее решение.

Характеристическую функциюобычного множестваможно рассматривать как функцию принадлежности этому множеству, но в отличие от нечеткого множества,принимает лишь два значения: 0 или 1.

Нечетким множествомназывают пару, где— универсальное множество,— функция принадлежности нечеткого множества.

Несущим множеством или носителем нечеткого множестваназывают подмножество множества, состоящее из элементов, на которых.

Точкой перехода нечеткого множестваназывают элемент множества, на котором.

В рассматриваемом примере, где,— множество чисел, меньших 7,— множество чисел, немного меньших 7, субъективно выбираем значения для множества, которые будут составлять функцию принадлежности. В таблице 6.1 представлены функции принадлежностиидляи.

Таблица 6.1.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1
1
1
1
1
1

0,5
0,6
0,8
0,9

Часто используется более компактная запись конечных или счетных нечетких множеств. Так, вместо приведенного выше табличного представления подмножестви, эти подмножества можно записать следующим образом:

В приведенных равенствах указаны значения функции принадлежности для соответствующих элементов множества, знак "+" означает объединение одноэлементных подмножеств, для которых значения функции принадлежности больше нуля. Такое объединение называют несущим множеством или носителем соответствующего нечеткого множества. Так, несущее множество длясостоит из чисел:.

Нечеткое множествозаписывают в виде (1.2), если, и в виде (1.3), еслинепрерывно.

Общая форма записи нечеткого подмножества для случаев, когда U дискретно имеет вид:

( 6.3)

В общем случае нечеткое множество B с непрерывным носителем U обозначается

( 6.4)

В выражениях (6.3) и (6.4), как правило, указываются лишь элементы несущего множества. Использование символа интеграла не означает интегрирования, но предполагает, объединение по всем элементам несущего множества. Знак интеграла показывает, что несущее множество является частью числовой оси.

Элемент множества, на котором значение функции принадлежности равно 0.5, называют точкой перехода. Точкой перехода для множествав рассмотренном выше примере является. Точка перехода – это точка, о которой мнение эксперта можно выразить словами "неизвестно", "не определено" и т.п.

Если функция принадлежности нечеткого множества достигает 1, то множество называют нормальным, если не достигает — субнормальным. Поскольку в разобранном примере ни одно из значенийне достигло своего возможного максимального значения – 1, то– нечеткое субнормальное множество.

Обратите внимание

Субнормальное множество можно нормировать, разделив все значения функции принадлежности на ее наибольшее значение. Множествопосле нормирования примет следующий вид:.

Удобно представление нечетких множеств в виде графиков функций принадлежности(рис.6.1).

Рис. 6.1. Функции принадлежности обычного множества и нечеткого множества B

Нечеткие множества в хранилище данных. нечеткое множество, нечеткая логика, нечеткий поиск

Автор: Потапов Евгений Николаевич
31 Мая 2011 г.

История нечетких множеств

С конца 80-х годов и до сих пор идет бумом практического применения теории нечеткой логики в разных сферах науки и техники. До 90-ого года появилось около 40 патентов, относящихся к нечеткой логике.

Сорок восемь японских компаний создают лабораторию LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering), японское правительство финансирует 5-летнюю программу по нечеткой логике, которая включает 19 разных проектов — от систем оценки глобального загрязнения атмосферы и предвидения землетрясений до АСУ заводских цехов.

Результатом выполнения этой программы было появление целого ряда новых массовых микрочипов, базирующихся на нечеткой логике. Сегодня их можно найти в стиральных машинах и видеокамерах, цехах заводов и моторных отсеках автомобилей, в системах управления складскими роботами и боевыми вертолетами.

В США развитие нечеткой логики идет по пути создания систем для большого бизнеса и военных. Нечеткая логика применяется при анализе новых рынков, биржевой игре, оценки политических рейтингов, выборе оптимальной ценовой стратегии и т.п. Появились и коммерческие системы массового применения.

Описание

Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (membership function).

Обозначим через µ(x) степень принадлежности элемента x к нечеткому множеству, представляющую собой обобщение понятия характеристической функции обычного множества.

Тогда нечетким множеством С называется множество упорядоченных пар вида C = {µ(x)/x}, при этом µ(x) может принимать любые значения в интервале [0, 1]. Значение µ(x) = 0 означает отсутствие принадлежности к множеству, 1 — полную принадлежность.

Проиллюстрируем это на простом примере. Формализуем неточное определение «неблагонадежный заемщик». В качестве X (область рассуждений) будет выступать количество случаев просроченной задолженности по кредиту за последние 6 месяцев. Пусть оно изменяется от 0 до 6. Нечеткое множество, определенное экспертом, может выглядеть следующим образом:
C = {0/0; 0,4/1; 0,7/2; 0,9/3; 1/4; 1/5; 1/6}.

Так, заемщик, совершивший две просрочки, принадлежит к множеству «неблагонадежный» со степенью принадлежности 0,7. Для одного банка такое число просрочек может быть крайне существенным, для другого — просто тревожным сигналом. Именно в этом и проявляется нечеткость задания соответствующего множества.

Для переменных, относящихся к непрерывному виду данных, функцию принадлежности удобнее задать аналитической формулой и для наглядности изобразить графически. Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Рассмотрим самые популярные кусочно-линейные: треугольную и трапецеидальную.

Рис. 1. Типовые функции принадлежности

Важно

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a, b, c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a, b, c, d):

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции. Самыми необходимыми для расчетов являются пересечение, объединение и отрицание.

Для нечетких множеств можно применить визуальное представление.

Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E.

Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Пусть A нечеткий интервал между 5 до 8 и B нечеткое число около 4, как показано на рисунке.

• Пересечение двух нечетких множеств A ∩ B (нечеткое «И»):

µ(x) = min(µA(x), µB(x)).

Рис.2. Нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (синяя линия)

• Объединение двух нечетких множеств A ∪ B (нечеткое «ИЛИ»):

µ(x) = max(µA(x), µB(x)).

Рис.3. Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем рисунке (снова синяя линия).

• Отрицание нечеткого множества -A:

µ(x) = 1 – µA(x),

Рис.4. Операцию отрицания. Синяя линия — это ОТРИЦАНИЕ нечеткого множества A.

где µ(x) — результат операции; µA(x) — степень принадлежности элемента x к множеству A;

µB(x) — степень принадлежности элемента x к множеству B.

Совокупность нечетких множеств, относящихся к одному объекту, образует лингвистическую переменную. Например, лингвистическая переменная Возраст может принимать значения Молодой, Средний, Пожилой (их еще называют базовым терм-множеством, или термами). Зададим область рассуждений в виде X = {x | 0 < x < 90} (годы). Теперь осталось построить функции принадлежности для каждого терма (рис. 5).

Каждая функция принадлежности описывается четверкой чисел: Молодой = {0; 0; 12; 40}, Средний = {20; 30; 50; 70}, Преклонный = {50; 60; 90; 90}.

Рис. 5. Графическое изображение лингвистической переменной «Возраст»

Нечеткий поиск в хранилище данных

Лингвистические переменные можно задать для любого измерения, атрибута измерения или факта, значения которого имеют непрерывный вид. Их параметры: названия, терм-множества, параметры функций принадлежности — будут содержаться в семантическом слое хранилища данных (рис. 6).

Рис. 6. Вариант организации хранилища данных с поддержкой нечетких срезов

Результатом выполнения нечеткого среза, помимо самого подмножества ячеек гиперкуба, удовлетворяющих заданным условиям, является индекс соответствия срезу CI [0, 1]. Он представляет собой итоговую степень принадлежности к нечетким множествам измерений и фактов, участвующих в сечении куба, и рассчитывается для каждой записи набора данных.

Чтобы ускорить выполнение запросов к ХД, часто задают верхнюю границу индекса соответствия CI > а. Это позволяет уже на уровне SQL-запроса отсеять записи, которые заведомо не будут удовлетворять минимальному порогу индекса соответствия (рис. 7).

Совет

На рисунке видно, что элементы нечеткого множества со значениями в интервале [xf, x2] обеспечат степень принадлежности не ниже а.

Рис. 7. Нечеткое множество

Рис. 8. Алгоритм получения нечеткого среза

Алгоритм формирования нечеткого среза иллюстрирует схема (рис. 8). На шаге 1 используется семантический слой хранилища данных. На шаге 3 в результирующий SQL-запрос попадают границы с учетом минимального индекса соответствия а. Шаг 5 предполагает применение нечетких логических операций pouvez trouver ici.

Рассмотрим пример. Пусть в хранилище содержится информация о соискателях вакансий, и срез (четкий) по измерениям Код анкеты, Возраст и Стаж работы обеспечивает следующий набор данных (табл. 1).

Очевидно, что Код анкеты — это служебное поле. Для возраста будем использовать лингвистическую переменную, определенную на рис. 5, а для поля Стаж работы — переменную, определенную на рис. 9. Каждая функция принадлежности описывается числами: Малый = {0; 0; 6}, Продолжительный = {3; 6; 10; 20}, Большой = {15; 25; 40; 40}.

Таблица 1. Срез по измерениям «Возраст» и «Стаж работы»

Код анкетыВозрастСтаж работы

1
23
4

2
34
11

2
34
11

3
31
10

4
54
36

5
46
26

6
38
15

7
21
1

8
23
2

9
30
8

10
30
12

Рис. 9. Графическое изображение лингвистической переменной «Стаж работы»

Сделаем нечеткий срез «Возраст = Средний и Стаж работы = Продолжительный». Например, для анкеты 4 получим:

Аналогично рассчитаем степени принадлежности к итоговому нечеткому множеству для каждого претендента, зададим минимальный индекс соответствия, равный 0,3, и получим результат, показанный в табл. 2.

Таблица 2. Результат нечеткого среза

Код анкетыВозрастСтаж работыИндекс соответствия

3
31
10
1

9
30
8
1

6
38
15
1

2
34
11
0,9

10
30
12
0,8

8
23
2
0,3

1
23
4
0,3

Нечеткий поиск в хранилищах данных принесет аналитику максимальную пользу в случаях, когда требуется не только извлечь информацию, оперируя нечеткими понятиями, но и каким-то образом проранжировать ее по убыванию (возрастанию) степени релевантности запроса. Это позволит ответить на следующие вопросы: каких клиентов обзвонить в первую очередь, кому сделать рекламное предложение и т.д.

[2] Википедия

[3] Теория логики

Нечеткие множества

Нечеткое множество – это множество пар , где x принимает некоторое информативное значение, а m(x) отображает x в единичный отрезок, принимая значения от 0 до 1. При этом m(x) представляет собой степень принадлежности x к чему-либо (0 – не принадлежит, 1 – принадлежит на все 100%).

Так, на пример, можно задать для числа 7 множество:

,,
Это множество говорит о том, что 7 – это на 0% единица, на 40% тройка и на 100% семерка.

Нечеткая переменная определяется как .

A – наименование переменной,

X={x} – область определения переменной, набор возможных значений x,

Ca={} – нечеткое множество, описывающее ограничения на возможные значения переменной A (семантику).

Пример: .Этой записью мы определили соответствия между словом и некоторыми цифрами. Причем, как в названии переменной, так и в значениях x можно было использовать любые записи, несущие какую-либо информацию.

Лингвистическая переменная определяется как .

Нечеткое множество (или нечеткое число), описывает некотоpые понятия в фyнкциональном виде, т. е. такие понятия как “пpимеpно pавно 5”, “скоpость чyть больше 300 км/ч” и т. д., как видно эти понятия невозможно пpедставить одним числом, хотя в pеальности люди очень часто пользyются ими.

Hечеткая пеpеменная это тоже самое, что и нечеткое число, только с добавлением имени, котоpым фоpмализyется понятие описуемое этим числом.

Лингвистическая пеpеменная это множество нечетких пеpеменных, она использyется для того чтобы дать словесное описание некотоpомy нечеткомy числy, полyченномy в pезyльтате некотоpых опеpаций. Т. е. пyтем некотоpых опеpаций подбиpается ближайшее по значению из лингвистической пеpеменной.

Хочy дать несколько советов для твоей пpоги. Hечеткие числа лyчше хpанить как отсоpтиpованное множество паp (соpтиpyется по носителям), за счет этого можно yскоpить выполнения всех логических и математических опеpаций. Когда pеализyешь аpифметические опеpации, то нyжно yчитывать погpешность вычислений, т. е.

2/4 1/2 для компьютеpа, когда я с этим столкнyлся, мне пpишлось несколько yсложнить сpавнение паp, а сpавнений пpиходится делать много. Hосители в нечетких числах должны быть кpатными какому-нибуть числy, иначе pезyльтаты аpиф. опеpаций бyдyт “некpасивыми”, т. е.

pезyльтат бyдет неточным, особенно это видно пpи yмножении.

За счет хpанения нечетких чисел в отсоpтиpованном виде, я добился того что аpифметические опеpации y меня выполняются по почти линейной зависимости (во вpемени), т. е. пpи yвеличении количества паpа, скоpость вычислений падала линейно. Я пpидyмал и pеализовал точные аpиф.

Обратите внимание

опеpации пpи котоpых не имеет значение кол-во и кpатность носителей, pезyльтат всегда бyдет точным и “кpасивым”, т. е. если пеpвоначальные числа были похожи на пеpевеpнyтyю параболу, то и pезyльтат бyдет похожим, а пpи обычных опеpациях он полyчается стyпенчатым.

Я так же ввел понятие “обpатные нечеткие числа” (хотя не до конца pеализовал), для чего они нyжны? Как ты знаешь пpи вычитании или делении число из котоpого вычитается дpyгое должно быть шиpе, а это большая пpоблема пpи pешении сложных ypавнений, вот “обpатные нечеткие числа” позволяют это делать.

Базовые операции над нечеткими множествами

ОБЪЕДИНЕНИЕ: создается новое множество из элементов исходных множеств, причем для одинаковых элементов принадлежность берется максимальной.

A U B = {} Maub(x) = max {Ma(x), Mb(x)}
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ: создается новое множество из одинаковых элементов исходных множеств, принадлежность которых берется минимальной. A П B = {} Maпb(x) = min {Ma(x), Mb(x)}
ДОПОЛНЕНИЕ: инвертируется принадлежность каждого элемента. C = ~A = {} Mc(x) = 1-Ma(x)
СТЕПЕНЬ: принадлежность каждого элемента возводится в степень. CON – концентрация, степень=2 (уменьшает степень нечеткости) DIN – растяжение, степень=1/2 (увеличивает степень нечеткости)
РАЗНОСТЬ: новое множество состоит из одинаковых элементов исходных множеств. A – B = {} Ma-b(x) = Ma(x)-Mb(a), если Ma(x)>Mb(x) иначе 0
НОСИТЕЛЬ: состоит из элементов исходного множества, принадлежности которых больше нуля. Supp(A) = {x|x?X / Ma(x)>0}
УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО: принадлежности элементов домножаются на число. q*A = {}
СУПРЕМУМ: Sup – точная верхняя грань (максимальное значение принадлежности, присутствующее в множестве).

НОРМАЛИЗАЦИЯ: нечеткое множество нормально если супремум множества равен единице. Для нормализации перечитывают принадлежности элементов:

M'a(x) = Ma(x)/(Sup Ma(x))
АЛЬФА-СРЕЗ: множество альфа уровня – те элементы исходного множества, принадлежность которых выше или равна заданного порога. Порог, равный 1/2, называют точкой перехода. Aq = {x|x?X / Ma(x)>q}
НЕЧЕТКОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ: степень включения нечеткого множества V(A1,A2) = (Ma1(x0)->Ma2(x0))&(Ma1(x1)->Ma2(x1))&.. По Лукасевичу: Ma1(x)->Ma2(x) = 1&(1-Ma1(x)+Ma2(x)) По Заде: Ma1(x)->Ma2(x) = (1-Ma1(x)) / Ma2(x)
НЕЧЕТКОЕ РАВЕНСТВО: степень нечеткого равенства R(A1,A2) = V(A1,A2) & V(A2,A1)

Словарь

АДАПТАЦИЯ – Любое изменение в структуре или функции организма, которое позволяет ему выживать во внешней среде.

АЛЛЕЛИ – Возможные значения генов.

ГА – Генетический алгоритм. Интеллектуальное исследование произвольного поиска. [Reeves, 1993]. Представлен Holland 1975.

ГА МОДЕЛЬ ОСТРОВА (IMGA) – Популяция ГА разделена в несколько подсовокупностей, каждая из которых беспорядочно инициализирована и выполняет независимый последовательный ГА на собственной подпопуляции. Иногда, пригодные ветви решений мигрируют между подсовокупностями. [Например. Levine 1994].

ГЕНЫ – Переменные в хромосоме.

ГЕНЕТИЧЕСКИЙ ДРЕЙФ – Члены популяции сходятся к некоторой отметке пространства решения вне оптимума из-за накопления стохастических ошибок.

ГЕНОТИП – Фактическая структура. Кодированная хромосома.

ГП – Генетическое программирование. Прикладные программы использующие принципы эволюционной адаптации к конструкции процедурного кода. [Koza 1992]

ДИПЛОИД – В каждом участке хромосомы имеется пара генов. Это позволяет сохраняться долгосрочной памяти.

КГА – Компактный ГА (CGA). В CGA, две или больше совокупности ген постоянно взаимодействуют и взаимно развиваются.

КРОССИНГОВЕР – Обмен отрезками хромосом родителей. В диапазоне от 75 до 95% появляются самые лучшие особи.

ЛОКУС – Позиция гена в хромосоме.

МУТАЦИЯ – Произвольная модификация хромосомы.

СИНАПС – Вход нейрона.

СХЕМА (шемма) – Подмножество подобных хромосом, содержащих модель значений гена.

СХОДИМОСТЬ – Прогрессия к увеличивающейся однородности. Ген, как считают, сходится когда 95% популяции имеет то же самое значение [DeJong 1975].

УНС – Унифицированная нейронная сеть.

Важно

ФИТНЕС-ФУНКЦИЯ – Значение являющееся целевым функциональным значением решения. Оно также называется функцией оценки или функцией цели в проблемах оптимизации.

ФЕНОТИП – Физическое выражение структуры. Декодированный набор ген.

ХРОМОСОМА – Составляющий вектор, строка, или решение.

Советуемся литература:

• Д. -Э. Бэстенс, В. .М. Ван Ден Берг, Д. Вуд. .Hейронные сети и финансовые рынки.., Москва, научное издательство .ТВП., 1997.
• Галушкин А. И. .Hейрокомпьютеры и их применение. Книга 1. Теория нейронных сетей.. Москва, Издательское предприятие редакции журнала .Радиотехника.,2000.
• Тейво Кохонен, Гвидо Дебок .Анализ финансовых данных с помощью самоорганизующихся карт., Москва, издательский дом .Альпина., 2001.
• Ф. Уоссерман. .Hейрокомпьютерная техника., Москва, издательство .Мир., 1992.
• Шумский C. A. .Hейрокомпьютинг и его применение в экономике и бизнесе., Москва, издательство МИФИ, 1998.
• А. И. Змитрович Интеллектуальные информационные системы. – Минск.: HТООО “Тетра Системс”, 1997. – 368с.
• В. В. Корнеев, А. Ф. Гарев, С. В. Васютин, В. В. Райх Базы данных. Интеллектуальная обработка информации. – М.: “Hолидж”, 2000. – 352с.

Назад | Оглавление | Далее

19 Определение нечеткого множества

Определение нечеткого множества

Рассмотрим снова формулу (6.3) определяющую характеристическую функции . Профессор Lotfi Zadeh в 1965 году опубликовал статью, которая называлась «Fuzzy sets», которой он расширил двузначную логику до ограниченной многозначной оценки.

Выше 0 и ниже 1, то есть в интервал [0,1] и впервые вел понятие нечеткое множество. Здесь вместо термина характеристическая функция использовал функция принадлежности.

Нечеткое множество в универсуме U определяется через функцию принадлежности следующим образом:

Величина  означает субъективную оценку степени принадлежности x множеству A. Заранее не постулируется, какого вида эта оценка. Четкое множество является частным случаем нечеткого множества.

Заметим, что нечеткое множество строго определяется с помощью функции принадлежности, таким образом, логика определения понятия нечеткого множества не содержит какой-либо нечеткости.

Определение 6.1. Нечетким множеством A на универсуме U будем называть совокупность упорядоченных пар  (6.5) , составленных из элементов x универсума U и соответствующей степеней принадлежности .

Пример:

Обычно нечеткое  множество отождествляется с его функцией .

Замечание: Определение нечеткого множества с помощью определения 6.1 является одним из возможных подходов формализации нечеткости. Функция может принимать не значение из интервала, а целый интервал из интервала.

 6.2.3 Основным характеристики нечетких множеств

Определение 6.2. Носителем нечеткого множества А называется обычное подмножество таких точек из универсума U, для которых величина  . Носитель обозначается:  .

  (6.6)

Определение 6.3. Высотой нечеткого множества A называется величина    (6.7)

Определение 6.4.  Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота = 1, в противном случае оно называется субнормальным.

Замечание 6.2. Иногда субнормальное нечеткое множество нормализуют на величину H(A).

Определение 6.5.  Нечеткое множество A называется пустым, если .

Определение 6.6. Множеством α – уровня (альфа – срезом, альфа – сечением) нечеткого множества A называется обычное, то есть четкое подмножество универсума U, определяемого формулой:     (6.8)

Множества строго α – уровня определяются формулой:     (6.9)

Носитель нечеткого множества является частным случаем множества строго α – уровня, то есть    (6.10)

Определение 6.7.  Элементы множества U, для которых степень принадлежности   называются точками перехода.

Определение 6.8. Нечеткое множество А в универсуме U ()  называется выпуклым нечетким множеством тогда и только тогда, когда его функция принадлежности выпукла, то есть для каждой пары точек  выполняется условие:    (6.11)

 6.2.4 Операции над нечеткими множествами

Пусть А,В нечеткие множества на универсуме U.

Определение 6.9. Равенство: говорят, что А и В равны и пишут А=В, если    (6.12)

Совет

Определение 6.10. Операция включения: говорят А содержится в В, или нечеткое множество А является нечетким подмножеством нечеткого множества В и пишут     (6.13)

Строгое включение или строгое подмножество имеет место, когда хотя бы одно из неравенств (6.13) является строгим.

Когда А является подмножеством В, т.е. , говорят что В доминирует А.

Определение 6.11. Дополнением нечеткого множества А в U называют нечеткое множество  с функцией принадлежности:    (6.14)

Определение 6.12. Объединение нечетких множеств А и В в U, т.е.  называют наименьшее нечеткое множество, включающее как А, так и В с функцией принадлежности вида:  (6.15)

Определение 6.13. Пересечением нечетких множеств А и В в U, т.е.  называют наибольшее нечеткое множество, содержащееся одновременно в А и в В:   (6.16)

Есть и другие определения различных операции.

В теории нечетких множеств много разделов посвящено теории нечетких чисел.

5.1. Нечеткие множества

Пусть U – произвольное множество. Будем рассматривать его подмножества и U будем называть универсумом. Каждое подмножество описывается с помощью свойств его элементов. Например, в универсуме натуральных чисел w подмножество {0, 1, 2, 3, 4, 5} задаётся как

A = {n Îw: n £ 5}.

Его можно определить с помощью характеристической функции, принимающей значения:

Проблема возникает при попытке определения подмножества чисел, указывающих значение возраста, при которых человек считается старым.

Пусть [0, 1] = {r Î R : 0 £ r £ 1} – единичный отрезок действительных чисел.

Определение. Нечетким множеством m на универсуме U называется произвольная функция m : U ® [0, 1]. Множество всех нечетких множеств на U обозначается через F(U).

Заметим, что часто понятия нечёткого множества и определяющей его функции различают. В этом случае, говоря о нечётком множестве A, имеют в виду функцию. Обозначают эту функцию через и называют её функцией принадлежности.

Значение m(x) называется степенью принадлежности x нечеткому множеству m.

Например, нечеткое множество «старый» определяется как функция, для которой m(70) = 1, а m(0) = 0, ибо ясно, что человек семидесяти лет является старым, а не достигнувший одного года младенец – нет.

Можно считать, что m(20) = 0. Возрасту 45 лет можно приписать значение m(45) = 0.5, и далее продолжить функцию m линейно на интервале [20, 70].

Представление нечетких множеств

Существуют различные методы описания функции m : U ® [0, 1]. Если U – конечное множество, то функция будет конечным множеством пар:

m = {(x1, m(x1)), …, (xn, m(xn))}.

и может быть записана как

m = m(x1)/x1 + … + m(xn)/xn

или в виде таблицы:

x1
x2
…
xn

m(x1)
m(x2)
…
m(xn)

В случае универсума R действительных чисел m(x) задаётся аналитически и изображается в виде графика. Например, будет гауссианой, с m(a) = 1. Лингвистическое выражение «большое число» обозначает понятие, зависящее от параметров, и может быть интерпретировано с помощью функции:

Определение. Пусть и.

Множество

называется a-срезом нечеткого множества m.

Теорема 1. Пусть,,. Тогда

1)

2) если a < b, то,

3).

Теорема 2 (о представлении). Пусть. Тогда

.

Нечеткие множества называются равными, если для всех; m1 называется нечетким подмножеством m2, если для всех, в этом случае применяется запись:.

Операции над нечеткими множествами

Пусть. Операции определяются следующим образом:

 (дополнение);

 (пересечение);

 (объединение);

 (ограниченное произведение);

 (ограниченная сумма);

 (алгебраическое произведение);

 (алгебраическая сумма);

 (разность);

 (концентрирование).

Поскольку каждое нечеткое множество m можно представить как семейство a-срезов, то операции можно выразить через обычные операции над множествами. В частности:

          (дополнение);

 (пересечение);

 (объединение);

Принцип обобщения

Обратите внимание

Произвольная функция между множествами может быть расширена до функции следующим образом:

.

Этот метод расширения называется принципом обобщения. Предполагается, что супремум пустого множества равен 0. С помощью принципа обобщения можно расширить операцию сложения, полагая для любых:

Нечеткое множество называется выпуклым, если все его a-срезы выпуклы. Легко видеть, что сумма нечётких выпуклых множеств m1 и m2 из R будет выпуклой.

открытая библиотека учебной информации

Основные элементы теории нечетких объектов; нечеткие множества, системы и семейства нечетких множеств; меры близости нечетких объектов; меры релœевантности; отношения релœевантности нечетких объектов

Стоит сказать, что для начала дадим определœение нечеткого множества, чтобы определить тот объект, с которым мы будем работать на протяжении всœех лекций.

В математике давно используется понятие множества – совокупности объектов, выделœенных по некоторому признаку. Это понятие является базовым в современной математике и потому не определяется строго, формально.

Так, если задано неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ базовое множество X (конечное или бесконечное), то его подмножеством (четким подмнжеством) A принято называть любое множество, содержащее в себе только элементы множества X (хотя, может быть, и не всœе его элементы).

Любое подмножество A множества X можно описать его функцией принадлежности A : X ®{0; 1} m , значение которой для элемента xÎ X равно единице в том случае, если данный элемент принадлежит множеству A, и нулю – в противном случае.

Соответствие между подмножествами множества X и всœевозможными функциями принадлежности m : X ®{0; 1} является взаимно однозначным, то есть, определив неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ подмножество, мы можем определить его функцию принадлежности, и обратно, задание функции m : X ®{0; 1} задает и подмножество множества X.

В четком множестве любой элемент может или принадлежать ему, или не принадлежать, в связи с этим функция принадлежности принимает лишь два возможных значения – ноль или единица.

Важно

В нечетком же множестве (точнее, в нечетком подмножестве базового множества X) любой элемент x Î X может принадлежать множеству с некоторой степенью достовер ности, принимающей значения от нуля (элемент достоверно не принадлежит множеству) до единицы (элемент достоверно принадлежит множеству). Соответственно и функция принадлежности нечеткого множества может принимать любое значение из отрезка [0; 1].

Мы определим понятие нечеткого множества через его функцию принадлежности. Пусть X – неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ обыкновенное (четкое) множество. В дальнейшем мы будем рассматривать его нечеткие подмножества.

Определœение 1.Нечетким множеством A~ в X принято называть функция mА~: X ®[0; 1] , которая каждому из элементов множества X ставит в соответствие степень его принадлежности нечеткому множеству A~ .

Зачем же было введено понятие нечеткого множества? Для того же, для чего вводятся и другие математические объекты – чтобы описывать окружающий нас мир.

В действительности большинство понятий, которые используют люди в повсœедневной жизни, являются нечеткими! Когда сапожник ждет около трех минут после нанесения клея перед склеиванием, когда хозяйка в соответствии с рецептом кладет в суп две щепотки соли, когда менеджер в коммерческой фирме выполняет указание руководства существенно повысить объемы продаж – всœе они выполняют нечеткие инструкции, сформулированные неформально с помощью разговорного языка. Даже формально четкие понятия, используемые в обыденной жизни, воспринимаются людьми как нечеткие. К примеру, в рецепте может быть четко указано «две чайные ложки соли», но хозяйка понимает, что блюдо не будет испорчено и если будет положено две с половиной ложки, не говоря уже о том, что чайные ложки, вообще говоря, бывают разной емкости.

Удобным способом математического описания неформальных понятий, подобных упомянутым выше, являются нечеткие множества6.

Язык нечетких множеств имеет существенные преимущества перед языком теории вероятностей в том случае, когда оценки получаются из опроса экспертов. Известно, что люди в большинстве своем неправильно оценивают вероятности (особенно большие и малые).

Потому требовать от экспертов – специалистов в конкретных предметных областях, а не математиков, оценок в форме распределœения вероятности зачастую невозможно8. Использование же полученных результатов для принятия решений можно квалифицировать как самонадеянное.

Описание в форме нечетких множеств гораздо менее требовательно к квалификации экспертов и зачастую гораздо точнее отражает суть дела и имеющуюся у ЛПР информацию.

Совет

Конечно, за это удобство приходится платить. Предлагаемые теорией решения, основанные на нечеткой информации, и сами несут на себе печать нечеткости.

Οʜᴎ могут рассматриваться лишь как рекомендации для ЛПР, требуя от него выбора одного из предлагаемых вариантов.

Тем не менее, даже данный факт можно рассматривать как достоинство теории – он показывает, как увеличение информированности ЛПР сказывается на достоверности и правильности принимаемых решений.

Читайте также

– Нечеткие множества

Нередко принятие решений происходит в таких условиях, когда цели, ограничения или последствия возможных действий точно не известны. Неточность в зависимости от ее природы может быть отождествлена со случайностью или нечеткостью. В чем состоит основное различие между… [читать подробенее]

– Нечеткие множества

Лекция 4 НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ В 1965 году американский математик Лотфи Заде (L. Zade) опубликовал статью “Нечеткие множества” (“Fuzzy sets”). Было дано новое определение понятия множества, предназначенное для описания сложных плохо определенных систем, в которых… [читать подробенее]

– Нечеткие множества

Лекция 4 НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ В 1965 году американский математик Лотфи Заде (L. Zade) опубликовал статью “Нечеткие множества” (“Fuzzy sets”). Было дано новое определение понятия множества, предназначенное для описания сложных плохо определенных систем, в которых… [читать подробенее]

– Нечеткие множества.

Основные элементы теории нечетких объектов; нечеткие множества, системы и семейства нечетких множеств; меры близости нечетких объектов; меры релевантности; отношения релевантности нечетких объектов Для начала дадим определение нечеткого множества, чтобы определить… [читать подробенее]

– Нечеткие множества.

Основные элементы теории нечетких объектов; нечеткие множества, системы и семейства нечетких множеств; меры близости нечетких объектов; меры релевантности; отношения релевантности нечетких объектов Для начала дадим определение нечеткого множества, чтобы определить… [читать подробенее]

– Нечеткие множества и программирование

Принято выделять три революции, переводившие программирование на новые уровни: структурное, обьектно-ориентированное и визуальное. Но эта революционность была больше обращена на программы (искусство ради искусства) и почти не касалась объекта программирования – тех… [читать подробенее]

– Нечеткие множества

Записывая и решая задачу на языке исчисления высказываний или предикатов, мы получаем ответ в виде «да» или «нет»,(истина или ложь, 0 или 1). Однако во многих задачах мы не уверены в исходных данных, мы знаем их приближенно и поэтому удовлетворимся приближенным ответом. Для… [читать подробенее]

Нечеткие множества – Энциклопедия по экономике

Нечеткие множества

Выбор участка и вида проведения ремонта авторами предлагается осуществлять на основе решения данной проблемы как многокритериальной задачи с использованием аппарата нечетких множеств, где в качестве критериев используются значение стоимости ремонта и уровень риска воз-аварии.

Таким образом, следует решить следующий ряд задач вероятности отказа участка трубопровода экологическая и оценка последствий данного отказа определение вида и сроков проведения ремонта данного  [c.205]Методы ПР на основе теории нечетких множеств.  [c.

452]

Тема 4 (9) Методы принятия решений на основе нечетких множеств.  [c.453]

Элементы теории нечетких множеств.  [c.453]

Многокритериальный выбор альтернатив на основе теории нечетких множеств.  [c.453]

В работе рассмотрены теоретико-методические вопросы учета экологического состояния территории муниципального образования при оценке недвижимости. Разработаны методические основы ранжирования территории по комплексному показателю качества окружающей среды посредством использования аппарата векторной оптимизации и теории нечетких множеств.

Предложен механизм определения экологической составляющей в рыночной цене недвижимости. Выполнена практическая оценка степени загрязнения территории г. Уфы. Определена степень привлекательности территории с позиции качества окружающей среды селитебных зон и предложен авторский вариант развития муниципального образования г.

Уфы с учетом экологической ситуации.  [c.2]

Ранжировать территории по обобщающему показа гелю состояния окружающей среды, выбрать вариант, оптимальный с точки зрения многих критериев, по мнению автора, целесообразно посредством использования аппарата векторной оптимизации и теории нечетких множеств. Оригинальный подход был разработан на кафедре математического моделирования Уфимского государственного нефтяного технического университета и  [c.4]

Шаг 1, Для каждого вещества, влияющего на значение РЬ в соответствии с положениями теории нечетких множеств построены функции принадлежности ], то есть по каждому значению х/ , 1=1. ..1с, ]=1. ..т), где 1 обозначает то, что функция принадлежности строится для Р). Функция принадлежности характеризует степень опасности рассматриваемого вещества и строится на основе нормативных данных.  [c.5]

На основе разработанной методики ранжирования территории по комплексному показателю качества окружающей среды с помощью аппарата векторной оптимизации и теории нечетких множеств, произведем оценку степени загрязнения территории г. Уфы.  [c.28]

Адекватная идентификация предметов и явлений лежит в основе медицинской диагностики, геологопоисковых работ, военной разведки, оценки состояний сложных систем, распознавания кризисных ситуаций, выделения лабильных структур, нечетких множеств, состояний функциональных систем организма, дефектных изделий, криминалистической экспертизы, научно-технического прогнозирования, проектирования кибернетических систем, классификации и построении системы элементарных частиц, расшифровки кодов и  [c.4]
Обратите внимание

Сложность задачи (1)-(2) обусловлена ее многокритериальным характером, и основная проблема заключается в выборе принципа оптимальности. В настоящее время существует достаточное число алгоритмов решения задач векторной оптимизации.

В данной работе использован подход, базирующийся на основных положениях теории нечетких множеств, суть которого заключается в свертывании критериев в единый с помощью построения функций принадлежности специального вида. Каждой оцениваемой i -ой фирме i-l…

m поставлены в соответствие группы финансовых показателей и каждому из  [c.103]

Современные технологические системы, функционирующие в производственных условиях, характеризуются дефицитом достоверной количественной информации об их работе. Это может быть связано со сложностью объекта, с нехваткой или отсутствием промышленных приборов сбора информации и т.п.

В таких условиях использование традиционных подходов (например, теория вероятностей) к моделированию технологических систем, которые основаны на статистических данных, не дают существенных результатов из-за недостатка информации.

Один из перспективных подходов к разрешению проблем неопределенности, вызванных нечеткостью необходимой информации, заключается в использовании методов теории нечетких множеств.

Теория является математической формализацией нечеткой информации и обеспечивает переход от качественного описания объекта к количественным оценкам его состояния с помощью специальных моделей.  [c.129]

Сертификация в наши дни должна вестись только на базе компьютерной техники. Самый сложный вопрос здесь – создание единых классификаторов продукции и услуг в мировом масштабе. Управление процессом сертификации, с нашей точки зрения, должно вестись на базе теорий распознания образов и нечетких множеств.  [c.181]

Решением данной многокритериальной задачи, полученным на основании алгоритмов аппарата теории нечетких множеств, явилось распределение дефектов по k классам очередности устранения.  [c.188]
Важно

Нечеткое описание. Такая форма описания неопределенности используется, когда информация о параметрах модели и требованиях к исследуемому объекту задается экспертом на естественном языке, то есть, в “нечетких”, с точки зрения математики, терминах типа “много больше”, “около”, “приблизительно” и пр.

Во всех этих случаях задается неточное значение параметра, а некоторое множество его возможных значений, характеризующихся уровнем компетенции эксперта.

Для описания факторов в данной ситуации используют методы теории нечетких множеств, основной характеристикой которых является функция принадлежности jUj(z) параметра z к известному множеству А, удовлетворяющая условию  [c.47]

Тогда функции принадлежности нечетких множеств у, (1=1,3), описывающие нечеткие цели и ограничения (3.5), будут иметь вид  [c.48]

Например, что в бизнесе имеет развитие подход, который опирается на предпосылку, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств [75].  [c.28]

Впервые понятие нечетких множеств введено Л. Заде в 1965 г.  [c.28]

Уточним некоторые понятия нечетких множеств.  [c.29]

Нечеткое множество А в полном множестве области рассуждений U характеризуется функцией принадлежности FA U —> [О, 1], которая каждому элементу у множества U ставит в соответствие число FA (у) из отрезка [О, 1], описывающее степень принадлежности элемента у множеству А.  [c.29]

Треугольному нечеткому числу N, заданному таким образом, соответствует нечеткое множество A (N), функция принадлежности которого определена на множестве  [c.29]

Методы нечеткой логики позволяют в сети рыночных бизнес-коммуникаций вести диалог компьютерной системы (на основе базы данных нечетких множеств) о состоянии бизнеса на обычном языке делового мира, что является реальным вкладом в создание эффективных бизнес-коммуникаций.  [c.33]
Совет

Отношения (взаимодействия) — важный ресурс в предпринимательской деятельности. Оценка данного ресурса имеет качественную основу — доверие, взаимопонимание, гармония и т. д. Для оценки отношений теория и методы нечеткой логики весьма перспективны.

Например, на вопрос возможно ли привлечь компанию X к финансированию предпринимательского проекта Можно получить ответ, мы доверяем этой фирме на 70%. То есть, ни да (1) ни нет (0). Ответ выходит за рамки четкой — булевской алгебры логики. Здесь не обойтись без нечетких множеств.

Методы нечеткой логики предназначены для математической обработки субъективной информации в предпринимательской деятельности.

Практически — это помощь предпринимателям в принятии экономических решений, планировании и управлении в условиях ограниченной информации с учетом риска, экологии, маркетинговых исследований и т. д.  [c.64]

Методы анализа многокритериальных проблем с конечным числом допустимых решений. Модель, на основе которой принимаются решения в методах рассматриваемого тина, представляет собой матрицу решений (3.5). Напомним, что в этой матрице каждая строка связана с определенным решением, а столбец — с определенным показателем.

На пересечении г-й строки и /-го столбца стоит значение /-го критерия при i-м решении, причем это значение может быть как количественным, так и качественным. Более того, иногда значения критериев могут быть не определены точно — они описываются с помощью понятий теории нечетких множеств ).

В дальнейшем сложный вопрос о нечетких критериях затрагиваться не будет, мы ограничимся представлением (3.5), Отметим, что в рассматриваемых задачах направление улучшения значения критерия может быть не установлено.

В некоторых из подходов матрица решений не используется вообще ЛПР просто сравнивает между собой различные альтернативы.  [c.318]
Обратите внимание

Математическая теория нечетких множеств, созданная в 60-е гг. для решения узкой утилитарной задачи распознавания образов, в настоящее время имеет приложения в самых различных областях научной и хозяйственной деятельности — от работ по созданию искусственного интеллекта в ЭВМ пятого поколения до управления сложными технологическими процессами.  [c.184]

В основе данной теории лежат понятия нечеткого множества и функции принадлежности, определение которых приводятся ниже.  [c.184]

Применение теории нечетких множеств в экономике проиллюстрируем на примере вычисления перспективного ассортимента оптового предприятия в одном товарном профиле при фиксированной торговой зоне.

Под перспективным ассортиментом в данном случае понимается набор товаров, которые заведомо будут иметь спрос среди потребителей — в данном случае розничных торговых предприятий, входящих в район эффективной коммерческой деятельности оптовой организации.

Нахождение перспективного ассортимента гарантирует оптовой организации формирование ассортиментного ядра, которое будет реализовано на рынке с минимальным риском, а также помогает отразить общие тенденции того потребительского рынка, на котором организация оптовой торговли осуществляет свою коммерческую деятельность.  [c.185]

В основе данной теории лежат понятия нечеткое множество и функция принадлежности .  [c.79]

Большинство методов классификации основано на однозначном отнесении объекта к тому или иному классу. Но, как уже отмечалось, границы классов могут быть размытыми, нечеткими. Класс объектов, в котором нет резкой границы между объектами, входящими в него, и теми, которые в него не входят, называется нечетким множеством.  [c.154]

Для классификации данных в нечетких множествах необходимо ввести матрицу принадлежности каждого объекта к нечеткому множеству с элементами  [c.154]
Важно

Алгоритмы и программы многомерной классификации постоянно развиваются разрабатываются ППП, учитывающие размытость границ между классами (распознавание в нечетких множествах), различную длину описаний классов и т. д. Большое значение в  [c.154]

Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств Пер. с франц. -М. Радио и связь, 1982. -432 с.  [c.53]

Недосекин А.О., Воронов К.И. Анализ риска инвестиций с применением нечетких множеств II Управление риском.-2000.-№1.  [c.384]

Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Марков В.П. системный анализ процессов химической технологии. Применение метода нечетких множеств. М. Наука, 1986.  [c.19]

В этой связи при описании диалоговых процедур представляет интерес разработка моделей с использованием понятий теории нечетких множеств и лингвистических переменных [117, 118]. Подход, предложенный Л.

Заде, опирается на предпосылку, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от принадлежности к множеству” к непринадлежности” не скачкообразен, а непрерывен в диапазоне [0,1 ).

Процессу мышления человека присуща нечеткость, и в этой связи оценки субъекта целей и ограничений, с которыми он оперирует, также нечетки или же лишены количественных характеристик.

Неформализованная, субъективная информация, порождаемая сложными и неструктуризованными системами, составным элементом которых является человек, описывается в терминах теории нечетких множеств.  [c.197]